Cos'è √2 (Radice quadrata di 2)?
√2 è la lunghezza della diagonale di un quadrato unitario. Poni un quadrato con lati di lunghezza 1 su un tavolo. La distanza da un angolo all'angolo opposto è esattamente √2. Questo è il teorema di Pitagora: 1² + 1² = (√2)².
I Pitagorici scoprirono intorno al 500 a.C. che √2 non può essere espresso come una frazione p/q dove p e q sono interi. La dimostrazione per assurdo è elegante: supponiamo √2 = p/q in termini minimi. Allora 2q² = p², quindi p² è pari, quindi p è pari, scriviamo p = 2k. Allora 2q² = 4k², quindi q² = 2k², quindi q è anche pari. Questo contraddice che p/q sia in termini minimi. √2 è irrazionale.
Convergenti della frazione continua [1; 2, 2, 2, …]. Ogni frazione è la migliore approssimazione razionale con quel denominatore.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
√2 è algebrico (soddisfa x² = 2) ma irrazionale. In trigonometria: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. La serie di formati A (A4, A3, A2…) usa il rapporto 1:√2, in modo che piegando un foglio a metà si mantengano le stesse proporzioni. Calcolato a piena precisione: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
La radice quadrata di 2 è approssimativamente 1.41421356237309504880. È stato il primo numero mai dimostrato irrazionale, dagli antichi Greci intorno al 500 a.C. È algebrico, soddisfa x² = 2. Appare come lunghezza della diagonale di un quadrato unitario, nell'accordatura a temperamento equabile (ogni semitono moltiplica la frequenza per la dodicesima radice di 2), nelle dimensioni della serie di formati A (A4 piegato dà A5, stesse proporzioni), e nel teorema di Pitagora quando i cateti sono uguali.
Radice quadrata di 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the frazione continua.
FAQ
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Chi ha dimostrato che \u221A2 è irrazionale?
I Pitagorici, probabilmente Hippasus di Metapontum, lo dimostrarono intorno al 500-450 a.C. La scoperta fu scioccante perché la loro filosofia sosteneva che tutti i numeri fossero rapporti tra numeri interi. Secondo la leggenda, Hippasus fu in mare annegato per aver rivelato la dimostrazione. -
Come fu dimostrata l'irrazionalità di \u221A2?
Per contraddizione. Supponiamo \u221A2 = p/q in termini ridotti. Allora p^2 = 2q^2, quindi p è pari - scriviamo p = 2m. Allora 4m^2 = 2q^2, quindi q^2 = 2m^2, il che significa che q è anch'esso pari. Ma se entrambi sono pari condividono un fattore 2, contraddicendo l'ipotesi di termini ridotti. -
Le civiltà antiche conoscevano \u221A2?
Sì. La tavoletta della Yale Babylonian Collection YBC 7289, datata intorno al 1800-1600 a.C., mostra un'approssimazione di \u221A2 precisa a cinque cifre decimali. I Babilonesi calcolavano le lunghezze delle diagonali senza alcuna dimostrazione formale dell'irrazionalità. -
Perché fu scelto il rapporto 1:\u221A2 per i formati di carta A?
L'ingegnere tedesco Walter Porstmann formalizzò lo standard tedesco DIN 476 nel 1922 (poi adottato a livello internazionale come ISO 216 nel 1975). L'intuizione chiave, notata per la prima volta da Lichtenberg nel 1786: se un foglio ha i lati in rapporto 1:\u221A2, piegandolo a metà si ottiene un foglio con le stesse proporzioni. Ciò consente a tutti i formati da A0 ad A10 di condividere un unico standard. -
Dove appare \u221A2 nella matematica?
In un triangolo rettangolo 45-45-90, l'ipotenusa è sempre \u221A2 volte i cateti. La diagonale di faccia di un cubo unitario è \u221A2. Appare come frazione continua [1;2,2,2,...] e nella normalizzazione della funzione d'onda in meccanica quantistica.
Pi
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