Что такое √2, корень из 2?
√2 - это длина диагонали единичного квадрата. Если положить квадрат со стороной 1 на стол, то расстояние от одного угла до противоположного будет ровно √2. Это напрямую следует из теоремы Пифагора: 1² + 1² = (√2)².
Пифагорейцы около 500 года до н. э. обнаружили, что √2 нельзя записать в виде дроби p/q целых чисел p и q. Доказательство от противного элегантно: предположим, что √2 = p/q в несократимом виде. Тогда 2q² = p², значит p² чётно, а значит p само чётно, то есть p = 2k. Тогда 2q² = 4k² и q² = 2k², следовательно, q тоже чётно. Это противоречит несократимости дроби p/q. Значит, √2 иррационально.
Подходящие дроби цепной дроби [1; 2, 2, 2, …]. Каждая из них - лучшее рациональное приближение с данным знаменателем.
| Дробь | Десятичное число | Ошибка |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 алгебраично, потому что удовлетворяет уравнению x² = 2, но при этом иррационально. В тригонометрии sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Серия бумаги A - то есть A4, A3, A2 и так далее - использует отношение 1:√2, чтобы при делении пополам сохранялись те же пропорции. Полное значение: 1,41421356237309504880168872…
Каждый прямоугольный треугольник имеет один катет, равный предыдущей гипотенузе, и другой катет, равный 1. Гипотенузы равны √1, √2, √3, √4, √5… Большинство из них иррациональны. √2, отмеченное красным, было первым числом, чья иррациональность была доказана пифагорейцами около 500 года до н. э.
Корень из 2 приблизительно равен 1,41421356237309504880. Это было первое число, для которого вообще доказали иррациональность - ещё древние греки около 500 года до н. э. Оно алгебраично и удовлетворяет уравнению x² = 2. Оно появляется как диагональ единичного квадрата, в равномерно темперированном строе музыки, где каждый полутон умножает частоту на двенадцатый корень из 2, в форматах серии бумаги A и везде, где в теореме Пифагора катеты имеют одинаковую длину.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
FAQ
-
Кто доказал, что √2 иррационально?
Пифагорейцы, возможно Гиппас из Метапонта, доказали это около 500–450 гг. до н.э. Это открытие было потрясающим, поскольку их философия считала все числа отношениями целых. Легенда гласит, что Гиппас был утоплен в море за разглашение доказательства. -
Как была доказана иррациональность √2?
От противного. Допустим, √2 = p/q в несократимом виде. Тогда p² = 2q², значит p чётное — пусть p = 2m. Тогда 4m² = 2q², значит q² = 2m², то есть q тоже чётное. Но если оба чётные, они имеют общий множитель 2 — противоречие. -
Знали ли древние цивилизации о √2?
Да. Вавилонская глиняная табличка YBC 7289 из Коллекции Йэльского университета, датируемая ок. 1800–1600 гг. до н.э., содержит приближение √2, точное до пяти десятичных знаков. Вавилоняне вычисляли длины диагоналей без формального доказательства иррациональности. -
Почему соотношение 1:√2 было выбрано для бумаги серии A?
Немецкий инженер Вальтер Порстман оформил стандарт ISO 216 в 1922 году. Ключевая идея: если лист имеет стороны в соотношении 1:√2, складывание пополам даёт лист с точно такими же пропорциями. Это позволяет всем форматам от A0 до A10 иметь единый стандарт. -
Где ещё √2 встречается в математике?
В прямоугольном треугольнике 45-45-90 гипотенуза всегда равна √2, умноженному на катет. Диагональ грани единичного куба равна √2. Оно появляется как цепная дробь [1;2,2,2,...] и в нормировке волновых функций в квантовой механике.
Pi
Запоминайте пи, e и 38 математических констант методом пути по цифровой клавиатуре
Играть сейчас - бесплатноБез регистрации. Работает на любом устройстве.