Mi a √2 (2 négyzetgyöke)?
A √2 az egységnégyzet átlójának hossza. Tegyünk egy 1 hosszúságú oldalakkal rendelkező négyzetet az asztalra. Az egyik saroktól a szemközti sarokig mért távolság pontosan √2. Ez a Pitagorasz-tétel: 1² + 1² = (√2)².
A pitagoreusok Kr. e. 500 körül fedezték fel, hogy a √2 nem fejezhető ki p/q tört alakjában, ahol p és q egész számok. Az indirekt bizonyítás elegáns: tegyük fel, hogy √2 = p/q a legegyszerűbb alakban. Akkor 2q² = p², tehát p² páros, így p páros, írjuk p = 2k. Akkor 2q² = 4k², tehát q² = 2k², így q is páros. Ez ellentmond annak, hogy p/q a legegyszerűbb alakban van. A √2 irracionális.
Az [1; 2, 2, 2, …] lánctört konvergensei. Minden tört a legjobb racionális közelítés az adott nevezővel.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
A √2 algebrai (teljesíti az x² = 2 egyenletet), de irracionális. A trigonometriában: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Az A-papírsorozat (A4, A3, A2…) az 1:√2 arányt használja, így egy lap megfelezése ugyanazokat az arányokat adja. Teljes pontossággal kiszámolva: 1,41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
A 2 négyzetgyöke körülbelül 1,41421356237309504880. Ez volt az első szám, amelyről valaha bizonyították, hogy irracionális, az ókori görögök által Kr. e. 500 körül. Algebrai, teljesíti az x² = 2 egyenletet. Megjelenik az egységnégyzet átlójának hosszaként, az egyenletes hangolású zenei skálában (minden félhang a 2 tizenkettedik gyökével szorozza meg a frekvenciát), az A-sorozatú papírméretekben (az A4 megfelezve A5-öt ad, ugyanazokkal az arányokkal), és a Pitagorasz-tételben, valahányszor a befogók egyenlők.
2 négyzetgyöke is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the lánctört.
FAQ
-
Ki bizonyította, hogy \u221A2 irracionális?
A pitagoreusok, valószínűleg Metapontumi Hippaszosz bizonyította Kr. e. 500-450 körül. A felfedezés megdöbbentő volt, mivel filozófiájuk szerint minden szám egész számok aránya. A legenda szerint Hippaszost tengerbe fojtatták a bizonyítás közzétevője miatt. -
Hogyan bizonyították a \u221A2 irracionalitását?
Ellentmondásra vezető bizonyítással. Tegyük fel, hogy \u221A2 = p/q legkisebb közös nevezős alakban. Ekkor p^2 = 2q^2, tehát p páros - írjuk p = 2m alakban. Ekkor 4m^2 = 2q^2, tehát q^2 = 2m^2, ami azt jelenti, hogy q is páros. De ha mindkettő páros, akkor 2-vel osztható közös tényezőjük van, ami ellentmond a legkisebb közös nevezős alaknak. -
Ismerték-e az ókori civilizációk a \u221A2-t?
Igen. A Yale-i Babilóniai Gyűjtemény YBC 7289-es táblája, amely Kr. e. 1800-1600 körül készült, a \u221A2 közelítését mutatja öt tizedesjegy pontossággal. A babiloniak formális irracionalitási bizonyítás nélkül számították ki az átló hosszát. -
Miért választották a 1:\u221A2 arányt a A méretű papírméretekhez?
Walter Porstmann német mérnök formalizálta a német DIN 476 szabványt 1922-ben (amelyet később 1975-ben nemzetközileg ISO 216 néven elfogadtak). A lényeges felismerést, amelyet Lichtenberg először 1786-ban jegyzett le: ha egy lap oldalainak aránya 1:\u221A2, akkor félbehajtva ugyanazokat az arányokat kapjuk. Ez lehetővé teszi, hogy az A0-tól A10-ig minden méret egy szabványt kövessen. -
Hol fordul elő még a \u221A2 a matematikában?
Egy 45-45-90°-os derékszögű háromszögben az átfogó mindig \u221A2-szerese az befogóknak. A kocka élfőátlója \u221A2. Megjelenik a [1;2,2,2,...] lánctörtben, valamint a kvantummechanikai hullámfüggvény normalizálásában.
Pi
Jegyezd meg a pi-t, az e-t és 38 matematikai állandót a számbillentyűzet-útvonal módszerével
Játsszon most - ingyenesNincs szükség fiókra. Bármilyen eszközön működik.