Wat is √2, de wortel uit 2?
√2 is de lengte van de diagonaal van een eenheidsvierkant. Neem een vierkant met zijden van lengte 1. De afstand van een hoek naar de tegenoverliggende hoek is precies √2. Dat volgt direct uit de stelling van Pythagoras: 1² + 1² = (√2)².
De Pythagoreeërs ontdekten rond 500 v.Chr. dat √2 niet als breuk p/q met gehele getallen p en q kan worden geschreven. Het bewijs uit het ongerijmde is elegant: neem aan dat √2 = p/q in volledig gereduceerde vorm. Dan geldt 2q² = p², dus p² is even en daarmee p zelf even, dus p = 2k. Dan volgt 2q² = 4k² en dus q² = 2k², zodat ook q even is. Dat spreekt tegen dat p/q al volledig vereenvoudigd was. Dus is √2 irrationaal.
Convergenten van de kettingbreuk [1; 2, 2, 2, …]. Elke breuk is de beste rationale benadering met die noemer.
| Breuk | Decimaal | Fout |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 is algebraïsch, omdat het voldoet aan x² = 2, maar tegelijk irrationaal. In de trigonometrie geldt sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. De A-papierreeks, dus A4, A3, A2 enzovoort, gebruikt de verhouding 1:√2 zodat een dubbelgevouwen vel dezelfde proporties behoudt. Volledige waarde: 1,41421356237309504880168872…
Elke rechthoekige driehoek heeft één rechthoekszijde gelijk aan de vorige hypotenusa en één zijde gelijk aan 1. De hypotenusen zijn √1, √2, √3, √4, √5… De meeste zijn irrationaal. √2, rood gemarkeerd, was het eerste getal waarvan de irrationaliteit werd bewezen, door de Pythagoreeërs rond 500 v.Chr.
De wortel uit 2 is ongeveer 1,41421356237309504880. Het was het eerste getal waarvan ooit werd bewezen dat het irrationaal is, door de Grieken rond 500 v.Chr. Het is algebraïsch en voldoet aan x² = 2. Het verschijnt als de diagonaal van een eenheidsvierkant, in gelijkzwevende stemming in de muziek, in de A-papierformaten en overal waar in de stelling van Pythagoras beide rechthoekszijden even lang zijn.
Wortel uit 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the kettingbreuk.
FAQ
-
Wie bewees dat √2 irrationaal is?
De Pythagoreeërs, mogelijk Hippasus van Metapontum, bewezen dit rond 500–450 v.Chr. De ontdekking was schokkend omdat hun filosofie stelde dat alle getallen verhoudingen van gehele getallen zijn. Volgens de legende werd Hippasus op zee verdronken omdat hij het bewijs onthulde. -
Hoe werd de irrationaliteit van √2 bewezen?
Door een bewijs uit het ongerijmde. Neem aan dat √2 = p/q in vereenvoudigde vorm. Dan geldt p² = 2q², dus p is even – schrijf p = 2m. Dan 4m² = 2q², dus q² = 2m², wat betekent dat q ook even is. Maar als beide even zijn, delen ze een factor 2, wat de aanname van vereenvoudigde vorm tegenspreekt. -
Kenden oude beschavingen √2?
Ja. Het Yale Babylonische Collectie-kleitablet YBC 7289, daterend van rond 1800–1600 v.Chr., toont een benadering van √2 die tot vijf decimalen nauwkeurig is. De Babyloniërs berekenden diagonaallengtes zonder enig formeel bewijs van irrationaliteit. -
Waarom is de verhouding 1:√2 gekozen voor A-papierformaten?
De Duitse ingenieur Walter Porstmann formaliseerde de ISO 216-norm in 1922. Het belangrijkste inzicht: als een vel zijden heeft in de verhouding 1:√2, levert het dubbelvouwen een vel op met exact dezelfde verhoudingen. Hierdoor kunnen alle formaten van A0 tot A10 één standaard delen. -
Waar komt √2 nog meer voor in de wiskunde?
In een gelijkbenig rechthoekige driehoek (45-45-90) is de schuine zijde altijd √2 maal de rechthoekszijden. De vlakdiagonaal van een eenheidskubus is √2. Het getal verschijnt als de kettingbreuk [1;2,2,2,...] en in de normalisatie van golffuncties in de kwantummechanica.
Pi
Memoriseer pi, e en 38 wiskundige constanten met de cijfertoetsenbordmethode
Nu spelen - gratisGeen account nodig. Werkt op elk apparaat.