Was ist √2, die Wurzel aus 2?
√2 ist die Länge der Diagonale eines Einheitsquadrats. Legt man ein Quadrat mit Seitenlänge 1 auf den Tisch, dann ist der Abstand von einer Ecke zur gegenüberliegenden Ecke genau √2. Das folgt direkt aus dem Satz des Pythagoras: 1² + 1² = (√2)².
Die Pythagoreer entdeckten um 500 v. Chr., dass √2 nicht als Bruch p/q mit ganzen Zahlen p und q geschrieben werden kann. Der Widerspruchsbeweis ist elegant: Angenommen, √2 = p/q in vollständig gekürzter Form. Dann gilt 2q² = p², also ist p² gerade und damit p selbst gerade, also p = 2k. Dann folgt 2q² = 4k² und somit q² = 2k², also ist auch q gerade. Das widerspricht der Annahme, dass p/q bereits vollständig gekürzt war. Also ist √2 irrational.
Konvergenten des Kettenbruchs [1; 2, 2, 2, …]. Jeder dieser Brüche ist die beste rationale Approximation mit dem jeweiligen Nenner.
| Bruch | Dezimalzahl | Fehler |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 ist algebraisch, weil es x² = 2 erfüllt, aber dennoch irrational. In der Trigonometrie gilt sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Die A-Papier-Reihe, also A4, A3, A2 und so weiter, benutzt das Verhältnis 1:√2, damit beim Halbieren dieselben Proportionen erhalten bleiben. Voller Wert: 1,41421356237309504880168872…
Jedes rechtwinklige Dreieck hat eine Kathete gleich der vorherigen Hypotenuse und eine Kathete gleich 1. Die Hypotenusen sind √1, √2, √3, √4, √5… Die meisten davon sind irrational. √2, rot markiert, war die erste Zahl, deren Irrationalität bewiesen wurde, von den Pythagoreern um 500 v. Chr.
Die Wurzel aus 2 ist ungefähr 1,41421356237309504880. Sie war die erste Zahl überhaupt, deren Irrationalität bewiesen wurde, von den antiken Griechen um 500 v. Chr. Sie ist algebraisch und erfüllt x² = 2. Sie erscheint als Diagonale eines Einheitsquadrats, in der gleichstufigen Stimmung der Musik, wo jeder Halbton die Frequenz mit der zwölften Wurzel aus 2 multipliziert, in den Formaten der A-Papierreihe und überall dort, wo im Satz des Pythagoras beide Katheten gleich lang sind.
Square Root of 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the continued fraction.
FAQ
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Was ist die Wurzel aus 2?
Die Wurzel aus 2 (geschrieben als √2 oder Quadratwurzel aus 2) ist die eindeutige positive reelle Zahl, die mit sich selbst multipliziert 2 ergibt. Ihr Wert beträgt gerundet 1,41421356... und ist eine irrationale Zahl mit unendlich vielen nicht-periodischen Nachkommastellen. -
Wer hat bewiesen, dass √2 irrational ist?
Die Pythagoreer, möglicherweise Hippasos von Metapont, bewiesen es um 500-450 v. Chr. Die Entdeckung war schockierend, da ihre Philosophie besagte, dass alle Zahlen Verhältnisse ganzer Zahlen seien. Der Legende nach wurde Hippasos zur Strafe auf See ertränkt. -
Wie wurde die Irrationalität von √2 bewiesen?
Durch Widerspruch. Angenommen, √2 = p/q in gekürzter Form. Dann ist p^2 = 2q^2, also ist p gerade - schreibe p = 2m. Dann ist 4m^2 = 2q^2, also q^2 = 2m^2, was bedeutet, dass auch q gerade ist. Aber wenn beide gerade sind, teilen sie den Faktor 2 - ein Widerspruch zur gekürzten Form. -
Kannten antike Zivilisationen √2?
Ja. Die Tontafel YBC 7289 der Yale Babylonian Collection, datiert auf etwa 1800-1600 v. Chr., zeigt eine Näherung von √2, die auf fünf Dezimalstellen genau ist. Die Babylonier berechneten Diagonallängen ohne einen formalen Beweis der Irrationalität. -
Warum wurde das Verhältnis 1:√2 für A-Papierformate gewählt?
Der deutsche Ingenieur Walter Porstmann formalisierte 1922 die Norm ISO 216. Die zentrale Erkenntnis: Wenn ein Blatt Seitenverhältnisse von 1:√2 hat, ergibt das Halbieren ein Blatt mit exakt denselben Proportionen. So können alle Formate von A0 bis A10 einem Standard folgen. -
Wo taucht √2 sonst noch in der Mathematik auf?
In einem gleichschenklig-rechtwinkligen Dreieck (45-45-90) ist die Hypotenuse immer √2 mal so lang wie die Katheten. Die Flächendiagonale eines Einheitswürfels beträgt √2. Es erscheint als Kettenbruch [1;2,2,2,...] und in der Normierung von Wellenfunktionen der Quantenmechanik.
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