Τι είναι το √2 (τετραγωνική ρίζα του 2);
Το √2 είναι το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου. Τοποθετήστε ένα τετράγωνο με πλευρές μήκους 1 σε ένα τραπέζι. Η απόσταση από τη μία γωνία στην απέναντι γωνία είναι ακριβώς √2. Αυτό είναι το Πυθαγόρειο θεώρημα: 1² + 1² = (√2)².
Οι Πυθαγόρειοι ανακάλυψαν γύρω στο 500 π.Χ. ότι το √2 δεν μπορεί να εκφραστεί ως κλάσμα p/q όπου τα p και q είναι ακέραιοι. Η απόδειξη με απαγωγή σε άτοπο είναι κομψή: υποθέστε √2 = p/q σε ανάγωγη μορφή. Τότε 2q² = p², οπότε το p² είναι άρτιο, οπότε το p είναι άρτιο, γράψτε p = 2k. Τότε 2q² = 4k², οπότε q² = 2k², οπότε και το q είναι άρτιο. Αυτό αντιφάσκει με το ότι το p/q είναι σε ανάγωγη μορφή. Το √2 είναι άρρητο.
Συγκλίνοντες από το συνεχές κλάσμα [1; 2, 2, 2, …]. Κάθε κλάσμα είναι η καλύτερη ρητή προσέγγιση με αυτόν τον παρονομαστή.
| fraction | decimal | error |
|---|---|---|
| 1/1 | 1.000 | 0.41421 |
| 3/2 | 1.500 | 0.08579 |
| 7/5 | 1.400 | 0.01421 |
| 17/12 | 1.41667 | 0.00246 |
| 99/70 | 1.41429 | 0.0000849 |
Το √2 είναι αλγεβρικό (ικανοποιεί την x² = 2) αλλά άρρητο. Στην τριγωνομετρία: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. Η σειρά χαρτιού A (A4, A3, A2…) χρησιμοποιεί τον λόγο 1:√2, ώστε διπλώνοντας ένα φύλλο στη μέση να δίνει τις ίδιες αναλογίες. Υπολογισμένο σε πλήρη ακρίβεια: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
Η τετραγωνική ρίζα του 2 είναι περίπου 1.41421356237309504880. Ήταν ο πρώτος αριθμός που αποδείχθηκε ποτέ άρρητος, από τους αρχαίους Έλληνες γύρω στο 500 π.Χ. Είναι αλγεβρική, ικανοποιώντας την x² = 2. Εμφανίζεται ως το μήκος της διαγωνίου ενός μοναδιαίου τετραγώνου, στο ισοσυγκερασμένο κούρδισμα της μουσικής (κάθε ημιτόνιο πολλαπλασιάζει τη συχνότητα επί την 12η ρίζα του 2), στις διαστάσεις χαρτιού της σειράς A (το A4 διπλωμένο δίνει A5, ίδιες αναλογίες), και στο Πυθαγόρειο θεώρημα όποτε οι κάθετες πλευρές είναι ίσες.
Τετραγωνική ρίζα του 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the συνεχές κλάσμα.
FAQ
-
Ποιος απέδειξε ότι το \u221A2 είναι άριθμος;
Οι Πυθαγόρειοι, πιθανώς ο Ιππασός ο Μεταποντίνος, τον απέδειξαν γύρω στα 500-450 π.Χ. Η ανακάλυψη ήταν σοκαριστική, διότι η φιλοσοφία τους υποστήριζε ότι όλοι οι αριθμοί είναι λόγοι ακεραίων αριθμών. Ο μύθος αναφέρει ότι ο Ιππασός πνίγηκε στη θάλασσα αποκαλύπτοντας την απόδειξη. -
Πώς αποδείχθηκε η αρρηθμία του \u221A2;
Με απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι \u221A2 = p/q στην απλούστετη μορφή. Τότε p^2 = 2q^2, άρα p είναι άρτιος - γράφουμε p = 2m. Τότε 4m^2 = 2q^2, άρα q^2 = 2m^2, πράγματι q είναι επίσης άρτιος. Αλλά αν και οι δύο είναι άρτιοι μοιράζονται παράγοντα 2, σε αντίθεση με την απλούστετη μορφή. -
Ήξεραν οι αρχαίοι πολιτισμοί για το \u221A2;
Ναι. Ο πίνακας της Συλλογής της Γιάλης YBC 7289, που χρονολογείται γύρω στα 1800-1600 π.Χ., δείχνει μια προσέγγιση του \u221A2 με ακρίβεια πέντε δεκαδικών ψηφίων. Οι Βαβυλώνιοι υπολόγιζαν μήκη διαγωνίων χωρίς καμία τυπική απόδειξη αρρημίας. -
Γιατί επιλέχθηκε η αναλογία 1:\u221A2 για τα μεγέθη χαρτιού Α;
Ο Γερμανός μηχανικός Walter Porstmann τυποποίησε το γερμανικό πρότυπο DIN 476 το 1922 (αργότερα υιοθετήθηκε διεθνώς ως ISO 216 το 1975). Η βασική διαύγεια, που παρατηρήθηκε πρώτα από τον Lichtenberg το 1786: αν ένα φύλλο έχει πλευρές σε αναλογία 1:\u221A2, το δίπλωμά του στη μέση παράγει φύλλο με τις ίδιες αναλογίες. Αυτό επιτρέπει σε όλα τα μεγέθη από A0 έως A10 να μοιράζονται ένα πρότυπο. -
Πού αλλού εμφανίζεται το \u221A2 στα μαθηματικά;
Σε ένα ορθογώνιο τρίγωνο 45-45-90, η υποτείνουσα είναι πάντα \u221A2 φορές τις κάθετες πλευρές. Η διαγώνιο προσώπου ενός μοναδιαίου κύβου είναι \u221A2. Εμφανίζεται ως συνεχής κλάσμα [1;2,2,2,...] και στην κανονικοποίηση συνάρτησης κύματος της κβαντικής μηχανικής.
Pi
Απομνημονεύστε το π, το e και 38 μαθηματικές σταθερές με τη μέθοδο διαδρομής στο αριθμητικό πληκτρολόγιο
Παίξτε τώρα - δωρεάνΧωρίς λογαριασμό. Λειτουργεί σε κάθε συσκευή.