√2 (2 का वर्गमूल) क्या है?
√2 एक इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई है। यदि भुजा 1 वाला एक वर्ग लें, तो एक कोने से विपरीत कोने तक की दूरी ठीक √2 होती है। यही पाइथागोरस का प्रमेय है: 1² + 1² = (√2)²।
लगभग 500 ईसा पूर्व पाइथागोरसियों ने खोजा कि √2 को p/q के रूप में नहीं लिखा जा सकता, जहाँ p और q पूर्णांक हों। विरोधाभास द्वारा प्रमाण अत्यंत सुंदर है: मान लें √2 = p/q न्यूनतम रूप में है। तब 2q² = p², इसलिए p² सम है, अतः p सम होगा; p = 2k लिखें। तब 2q² = 4k², इसलिए q² = 2k², अतः q भी सम है। यह इस मान्यता का विरोधाभास है कि p/q न्यूनतम रूप में था। इसलिए √2 अपरिमेय है।
सतत भिन्न [1; 2, 2, 2, …] से मिलने वाले convergents। हर भिन्न उस हर (denominator) के लिए सबसे अच्छा परिमेय सन्निकटन है।
| Bruch | Dezimalzahl | Fehler |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 बीजीय है (यह x² = 2 को संतुष्ट करता है), लेकिन अपरिमेय है। त्रिकोणमिति में: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2। A-paper श्रृंखला (A4, A3, A2…) 1:√2 अनुपात का उपयोग करती है, ताकि कागज़ को आधा मोड़ने पर वही अनुपात बना रहे। पूर्ण परिशुद्धता तक मान: 1.41421356237309504880168872…
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
2 का वर्गमूल लगभग 1.41421356237309504880 है। यह पहली संख्या थी जिसकी अपरिमेयता का प्राचीन यूनानियों ने लगभग 500 ईसा पूर्व प्रमाण दिया। यह बीजीय है और x² = 2 को संतुष्ट करता है। यह इकाई वर्ग के विकर्ण की लंबाई के रूप में, equal-temperament संगीत-स्वरमापन में (जहाँ हर सेमीटोन आवृत्ति को 2 के 12वें मूल से गुणा करता है), A-series कागज़ के आयामों में (A4 को मोड़ने पर A5 मिलता है, वही अनुपात), और जब पाइथागोरस प्रमेय में दोनों लंबवत भुजाएँ समान हों तब दिखाई देता है।
2 का वर्गमूल is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the सतत भिन्न.
FAQ
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√2 अपरिमेय किसने सिद्ध किया?
पाइथागोरसवादियों ने, संभवतः मेटापोंटम के हिप्पासस ने, लगभग 500–450 ईसा पूर्व इसे सिद्ध किया। यह खोज चौंकाने वाली थी क्योंकि उनका दर्शन मानता था कि सभी संख्याएँ पूर्ण संख्याओं के अनुपात हैं। किंवदंती है कि प्रमाण उजागर करने के लिए हिप्पासस को समुद्र में डुबो दिया गया। -
√2 की अपरिमेयता कैसे सिद्ध हुई?
विरोधाभास द्वारा। मान लें √2 = p/q सरलतम रूप में। तो p² = 2q², अतः p सम है — लिखें p = 2m। तो 4m² = 2q², अतः q² = 2m², अर्थात q भी सम है। लेकिन यदि दोनों सम हैं तो उनमें 2 का उभयनिष्ठ गुणनखंड है, जो सरलतम रूप का विरोधाभास है। -
क्या प्राचीन सभ्यताओं को √2 के बारे में पता था?
हाँ। येल बेबीलोनियन संग्रह की पट्टिका YBC 7289, जो लगभग 1800–1600 ईसा पूर्व की है, √2 का पाँच दशमलव स्थानों तक सटीक सन्निकट दर्शाती है। बेबीलोनियों ने अपरिमेयता के किसी औपचारिक प्रमाण के बिना विकर्ण लंबाइयों की गणना की। -
A-कागज़ आकारों के लिए 1:√2 अनुपात क्यों चुना गया?
जर्मन इंजीनियर वाल्टर पोर्स्टमन ने 1922 में ISO 216 मानक को औपचारिक रूप दिया। मुख्य अंतर्दृष्टि: यदि एक शीट की भुजाएँ 1:√2 अनुपात में हैं, तो उसे आधा मोड़ने पर ठीक उसी अनुपात वाली शीट बनती है। इससे A0 से A10 तक सभी आकार एक मानक साझा करते हैं। -
गणित में √2 और कहाँ दिखाई देता है?
45-45-90 समकोण त्रिभुज में कर्ण सदैव भुजाओं का √2 गुना होता है। इकाई घन का फलक विकर्ण √2 है। यह सतत भिन्न [1;2,2,2,...] के रूप में और क्वांटम यांत्रिकी तरंग फ़लन सामान्यीकरण में दिखाई देता है।
Pi
नमपैड-पथ विधि से पाई, e और 38 गणितीय अचरों को कंठस्थ कीजिए
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