O que é √2 (raiz quadrada de 2)?
√2 é o comprimento da diagonal de um quadrado unitário. Coloque um quadrado de lado 1 sobre a mesa. A distância de um canto ao oposto é exatamente √2. Esse é o exemplo geométrico mais simples de um número que não pode ser escrito como fração.
Os pitagóricos descobriram por volta de 500 a.C. que √2 não pode ser expresso como fração p/q com p e q inteiros. A prova por contradição é elegante: suponha √2 = p/q em termos irredutíveis. Então p² = 2q², logo p é par. Escreva p = 2k. Então q também é par, contradizendo o fato de a fração estar reduzida.
Convergentes da fração contínua [1; 2, 2, 2, …]. Cada fração é a melhor aproximação racional com esse denominador.
| Bruch | Dezimalzahl | Fehler |
|---|---|---|
| 1/1 | 1,000 | 0,41421 |
| 3/2 | 1,500 | 0,08579 |
| 7/5 | 1,400 | 0,01421 |
| 17/12 | 1,41667 | 0,00246 |
| 99/70 | 1,41429 | 0,0000849 |
√2 é algébrico (satisfaz x² = 2), mas irracional. Em trigonometria: sin(45°) = cos(45°) = 1/√2. A série de papéis A (A4, A3, A2…) usa a razão 1:√2, de modo que dobrar uma folha ao meio preserva o formato.
Each right triangle has one leg equal to the previous hypotenuse and one leg equal to 1. The hypotenuses are √1, √2, √3, √4, √5… Most are irrational. √2 (red) was the first proved irrational, by the Pythagoreans around 500 BC.
A raiz quadrada de 2 é aproximadamente 1.41421356237309504880. Foi o primeiro número cuja irracionalidade foi provada, pelos gregos antigos por volta de 500 a.C. É a diagonal de um quadrado de lado 1 e satisfaz x² = 2. Sua fração contínua [1; 2, 2, 2, ...] produz as melhores aproximações racionais, como 99/70 e 239/169. Aparece no triângulo 45°-45°-90° e na proporção do papel A.
Raiz quadrada de 2 is irrational. Its decimal expansion never ends and never repeats. The digits shown below are verified against the fração contínua.
FAQ
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Quem provou que √2 é irracional?
Os pitagóricos, possivelmente Hipaso de Metaponto, provaram por volta de 500–450 a.C. A descoberta foi chocante porque sua filosofia sustentava que todos os números são razões de números inteiros. Reza a lenda que Hipaso foi afogado no mar por revelar a prova. -
Como a irracionalidade de √2 foi provada?
Por contradição. Suponha que √2 = p/q nos termos mais simples. Então p² = 2q², logo p é par — escreva p = 2m. Então 4m² = 2q², logo q² = 2m², o que significa que q também é par. Mas se ambos são pares, compartilham um fator de 2, contradizendo os termos mais simples. -
Civilizações antigas conheciam √2?
Sim. A tábua YBC 7289 da Coleção Babilônica de Yale, datada de aproximadamente 1800–1600 a.C., mostra uma aproximação de √2 precisa até cinco casas decimais. Os babilônios calculavam comprimentos de diagonais sem nenhuma prova formal de irracionalidade. -
Por que a razão 1:√2 foi escolhida para os tamanhos de papel da série A?
O engenheiro alemão Walter Porstmann formalizou o padrão ISO 216 em 1922. O insight-chave: se uma folha tem lados na razão 1:√2, dobrá-la ao meio produz uma folha com exatamente as mesmas proporções. Isso permite que todos os tamanhos de A0 a A10 compartilhem um único padrão. -
Onde mais √2 aparece na matemática?
Em um triângulo retângulo 45-45-90, a hipotenusa é sempre √2 vezes os catetos. A diagonal da face de um cubo unitário é √2. Aparece como a fração contínua [1;2,2,2,...] e na normalização de funções de onda na mecânica quântica.
Pi
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